\subsection{放射性崩壊の計数値の分布}

放射性原子が崩壊する確率は原子核によって異なるが，同じ原子核では全て等しい．

いまある核種Aが時刻\(t\)に\(N\)個ある．

微小時間d\(t\)の間に崩壊を起こして他の核種Bに変わる数をd\(N\)とすると，単位時間あたりの方回数d\(N\)/d\(t\)は\(N\)に比例する．

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d} \mathcal{N}}{\mathrm{d} t}=-\lambda \mathcal{N}
\end{equation}

比例定数\(\gamma\)を崩壊定数という．

時刻\(t\) = 0における核種Aの数を\(N_0\)とすれば，時刻\(t\)における核種Aの数は，以下のようになる．

\begin{equation}
\mathcal{N}(t)=\mathcal{N}_0 e^{-\gamma t}
\end{equation}

すなわち，はじめ\(N_0\)の個数の放射性原子があるとき，時間\(t\)の後に崩壊しないで残っている数は\(\mathcal{N}_0 e^{-\gamma t}\)個である．

この数がはじめの半分になるまでの時間\(\tau=\left(\log _e 2\right) / \lambda=0.693 / \lambda\)を半減期という．

また，\(\lambda t\)が1に比べ十分に小さいとすると，\(e^{-\lambda t}\)を\(\lambda t\)で展開したとき2次以上の項は省略でき\(e^{-\lambda t \cong 1-\lambda t}\)と近似できるので，次の式にできる．

\begin{equation}
\mathcal{N}(t)=\mathcal{N}_0-\mathcal{N}_0 \lambda t
\end{equation}

したがって，時間\(t\)の間に崩壊する個数は N0λt と近似できる．

しかし，原子核の崩壊は確率的なものであるから，繰り返し測定を行い平均値\(N\)は，

\begin{equation}
\bar{N}=\mathcal{N}_0 \lambda t
\end{equation}

であると期待される．そしてある計数値 N が出現する確率 P(N) は次の分布に従うことが知られている．

\begin{equation}
P(N)=\frac{(\bar{N})^N}{N !} e^{-\bar{N}}, \quad \sum_{N=0}^{\infty} P(N)=1
\end{equation}

この分布がポアソン分布と呼ばれる．ポアソン分布の標準偏差\(\sigma\)は平均値の平方根(\(\sqrt{N}\)) に等しい．また，\(\sqrt{N}\)が大きくなるとポアソン分布は，平均値が \(\bar{N}\), 標準偏差が\(\sqrt{N}\)のガウス分布近づく．

\begin{equation}
G(N)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \bar{N}}} \exp \left\{-\frac{\left(N-\bar{N}^2\right)}{2 \bar{N}}\right\}
\end{equation}